Foreldrar: Brynjólfur Jónsson prestur og fyrri kona hans, Ingunn Eyjólfsdóttir.
Stúdent í Reykjavík 1903 með 1. einkunn. Lögfræðipróf við háskólann í Kaupmannahöfn 1909 með 1. einkunn. Málflutningsmaður við yfirréttinn í Reykjavík 1909. Dvaldist í Danmörku við lögfræðistörf 1911-1913. Settur sýslumaður í Árnessýslu 1917-1918. Sýslumaður í Húnavatnssýslu 1918-1932. Stundaði síðan lögfræðistörf í Reykjavík.

Kona 1: Guðrún Árnadóttir (f. 1902). Þau skildu.
Kona 2: Sigurlaug Jóhannsdóttir (f. 1905).
Bogi átti einn son, Hauk Arnars Bogason (1919-2012)