Foreldrar: Klemens Jónsson landritari og síðari kona hans, Anna María Schiöth. Agnar varð ritari í danska utanríkisráðuneytinu 1. febrúar 1934, síðar attaché við danska sendiráðið í Washington og vararæðismaður á dönsku aðalræðismannsskrifstofunni í New York. Hann fékk lausn að eigin ósk úr dönsku utanríkisþjónustunni 1. júní 1940 og gekk í hina nýstofnuðu íslensku utanríkisþjónustu, fyrst ræðismaður í New York en síðar varð hann deildarstjóri og skrifstofustjóri í utanríkisráðuneyti íslands. Hann var skipaður sendiherra í Bretlandi og Hollandi 1951. Fimm árum siðar var hann skipaður ambassador í Frakklandi, sendiherra á Spáni, Portúgal, ítalíu og Belgíu; ambassador í Grikklandi 4. desember 1958. Hann var skipaður ráðuneytisstjóri í utanríkisráðuneytinu 1. janúar 1961 en fékk lausn 1. september 1969 og var sama dag skipaður ambassador í Noregi; hann var skipaður ambassador í Israel, ítalíu, Póllandi og Tékkóslóvakíu 27. janúar 1970. Agnar Klemens var ritari utanríkismálanefndar 1943—51 og 1961—69. Hann sat í fjölmörgum nefndum fyrir hönd rikisins og gegndi ýmsum trúnaðarstörfum, átti m.a. sæti í sendinefnd íslands hjá Sameinuðu þjóðunum í tvö ár. Hann var sæmdur heiðursmerkjum margra þjóða. Ýmis rit liggja eftir Agnar Klemenz Jónsson, m.a. Lögfræðingatal og Stjórnarráð Islands 1904—1964, margvísleg rit um utanríkismál og lögfræði. Maki: Ólöf Bjarnadóttir. Þau eignuðust fjögur börn.