Fæddur í Reykjavík. Foreldrar: Laufey Vilhjálmsdóttir kennari og Guðmundur Finnbogason prófessor og landsbókavörður. Finnbogi kvæntist Kristjönu P. Helgadóttur lækni, þau eignuðust eina dóttur og ólu upp fósturdóttur. Finnbogi lauk stúdentsprófi frá Menntaskólanum í Reykjavík 1943. Eftir útskrift frá menntaskóla hóf Finnbogi nám í íslenskum fræðum við Háskóla Íslands. Hann lauk cand. mag.-prófi í íslenskum fræðum frá Háskóla Íslands 1949. Hann lauk doktorsprófi frá HÍ 1961. Finnbogi tók við nýstofnuðu embætti í Kanada (Winnipeg), sem Vestur-Íslendingar höfðu stofnað. Þar vann hann mikilvægt brautryðendastarf, bæði við kennslu og kynningastarf meðal Vestur-Íslendinga. Einnig vann hann afrek á sviði fornra fræða. En hann var stórvirkur í fræðum Vestur-Íslandinga. Finnbogi gegndi starfi Landsbókasafnsvarðar í þrjátíu ár. Hann stundaði kennslu um árabil og var m.a. stundakennari við MR, aðstoðarkennari við Manitoba-háskóla og sendikennari við Óslóarháskóla og Björgvinjarháskóla. Hann var einnig dósent við HÍ um tíma. Eftir Finnboga liggur fjöldi ritverka, bæði frumsamins efnis og þýðinga. Hann annaðist einnig útgáfu fjölda bóka, m.a. fornrita og bóka eftir föður sinn. Finnbogi tók mikinn þátt í félagsmálum og var m.a. um tíma í stjórn Þjóðræknisfélags Íslendinga í Vesturheimi og var gerður að heiðursfélaga þess, formaður Félags íslenskra fræða og forseti Hins íslenska þjóðvinafélags. Hann var formaður byggingarnefndar Þjóðarbókhlöðunnar frá 1970.