Fæddist í Reykjavík. Móðir hans var Ólafía Guðmundsdóttir og faðir hans var Einar Þorkelsson, skrifstofustjóri Alþingis. Uppeldisforeldrar Áskels frá sex ára aldri voru hjónin Jón Guðmundsson, móðurbróðir hans, bóndi á Brúsastöðum í Þingvallasveit og veitingamaður á Valhöll á Þingvöllum, og k.h. Sigríður Guðnadóttir. ,,Áskell lauk gagnfræðaprófi við Flensborgarskólann í Hafnarfirði árið 1939 og síðar námi við Samvinnuskólann á Bifröst árið 1948. Að loknu námi réðst Áskell sem auglýsingastjóri við dagblaðið Tímann og starfaði þar til 1956. 1956-1958 starfaði Áskell sem fulltrúi á skrifstofu Raforkumálastjóra. Árið 1958 var Áskell ráðinn sem bæjarstjóri á Húsavík og starfaði þar til ársins 1966 þegar hann réðst sem framkvæmdastjóri Sjúkrahúss Húsavíkur. Árið 1971 var Áskell ráðinn framkvæmdastjóri Fjórðungssambands Norðlendinga (samtök sveitarfélaga á Norðurlandi) staðsett á Akureyri og starfaði þar út starfsævina eða til ársins 1993 en Fjórðungssambandið var þá lagt niður í þáverandi mynd. Áskell tók virkan þátt í félagsmálum. Eftir hann liggja ótal greinar um landsbyggðarmál ásamt ritinu Land í mótun, byggðaþróun og byggðaskipulag, sem kom út árið 1970."
Barnsmóðir: Sveinsína Jóhanna Jónsdóttir, þau eignuðust eina dóttur.
Maki 1: Þórný Þorkelsdóttir, þau eignuðust tvær dætur.
Maki 2: Áslaug Valdemarsdóttir, þau eignuðust tvö börn, fyrir átti Áslaug son.