Sonur hjónanna Jóns Árnasonar verkamanns og Kristínar Jónsdóttur húsmóður. ,,Lauk stúdentsprófi frá MR 1945. Hann lauk cand phil. og BA-próf frá HÍ, cand. mag.-próf í sögu Íslands, almennri sögu og ensku frá HÍ 1957. Bergsteinn var póstafgreiðslumaður hjá Póststofunni í Reykjavík 1946 til 1958, kenndi í Gagnfræðaskóla Vesturbæjar 1958-1962, í Kvennaskólanum í Reykjavík 1960-1961, MR 1959 til 1971 og Háskóla Íslands frá 1967 allt til ársins 1992. Eftir Bergstein liggja eftirtalin rit: Landsnefndin 1770-1771, I og II, 1958-1961; Mannkynssaga 1648-1789, 1963, Bygging Alþingishússins 1880-1881, sérprentun úr ævisögu Tryggva Gunnarssonar, 1972; Tryggvi Gunnarsson I-IV, ásamt Þorkeli Jóhannessyni, 1955 til 1990; Vestræna, ritgerðasafn til heiðurs Lúðvík Kristjánssyni sjötugum, útg. ásamt Einari Laxness 1981; Ísland, ásamt Birni Þorsteinssyni og Helga Skúla Kjartanssyni, Kaupmannahöfn 1985. Íslandssaga til okkar daga, meðhöf. ásamt Birni Þorsteinssyni 1991. Bergsteinn skrifaði greinar og ritgerðir um sagnfræðileg efni í tímaritum. Hann stundaði ritstörf og rannsóknir fyrir Seðlabankann og Landsbanka Íslands 1963 til 1965 og öðru hvoru síðan. Hann annaðist rannsóknarstörf um ferðir Íslendinga til Vesturheims 1971-1972. Báran rís og hnígur 2005, um samfélag íslenskumælandi fólks í Norður-Dakóta, Eitt og annað um vesturferðir, Vesturheim og Vesturíslendinga, handrit gefið út í tveimur eintökum 2006 í tilefni af áttræðisafmælisári Bergsteins."